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正十二面体的一个最基本谜题，被破解了

晰数塔互联网快讯
2020-09-02 18:00

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑，题图来自：《奇异博士》

今天，让我们先从一则特殊的“童话”故事开始：

在一个正四面体星球的一个顶点上，住着一位数学家，在这颗星球的其余顶点上，各有一枝玫瑰。数学家有一只羊，每天他都会带羊散步，他不想转弯只想走直线，且不想经过其他顶点，免得羊会吃掉那里的玫瑰。请问：有没有这样一条散步路径，可以让数学家的羊沿着直线出发后，既不会破坏玫瑰，还能在安全返回家中？

如果你不知道问题的答案，请先别着急，再来看这个：

在一个正十二面体星球的一个顶点上，住着一位不爱社交的数学家，在星球的其他顶点上，也都各有一家住户。每当数学家想出去散步时，总是害怕会经过其他住户的家而与他人碰面。因此他开始为自己设计路程，想要找到这样一条直线路径，可以在既不经过别人的家，还可以返回到自己家中？

这两个问题听起来似乎很像，但它们是否有着相同的答案？

其实，我们今天要讲的，正是几位数学家，对于发生在这些”奇怪星球“上的”奇怪的散步需求“问题的破解。

一

正三角形、正方形、正五边形等图案，或许是我们在学校接触到的最早的几何形状。理论上讲，这种每条边的长度、每个角的大小都相等的二维正多边形可以有无穷多个，只是随着数字的增大，它们越来越接近于一个圆。

正多边形。素材来源：Wikipedia

但是当从二维提升到三维谈论正多面体时，相等的性质除了边和角之外，正多面体上的每个面也必须都相等。与正多边形不同的是，正多面体的种类并不是无穷多个，而是最终可被分为五种：正四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体。

正多面体。素材来源：Wikipedia；图片设计：雯雯

无论在数学还是在艺术上，这些正多面体都扮演了重要角色。人类对正多面体的研究已经持续了至少两千多年，然而在数学家眼中，这些几何结构仍存在许多未知问题，并总能从这些特殊的结构中发现一些“新鲜事”。

数学家Jayadev Athreya与他的同事就对研究正多面体非常热衷，自2016年开始研究以来，他们已经提出了一些新的想法，并发现了一些新的定理。不仅如此，Athreya等人还解决了一个已经困扰了数学家一个多世纪之久的问题，这是一个关于正十二面体的最基本的问题。今年5月，他们将结果发表在了《实验数学》杂志上。

二

Athreya所研究的问题，正和文章开头的两则“童话”有关，即假如我们生活在一个正多面体世界，有没有可能存在这样的直线路径，可以让你从正多面体的某个顶点出发，顺着这条直线一直前行，可以在不经过其他任何顶点的情况下，返回到原点。

在研究正多面体的这种直线路经问题时，数学家会用到的一个基本想法就是将这些多面体展开。以正四面体为例，它的展开是一个由4个三角形组成的等边三角形。

左：正四面体的展开图，恢复正四面体只需相同颜色的边进行折叠；右：两个正四面体的展开图可以通过将其中之一旋转180°而进行结合。素材来源：J Athreya et. al；图片设计：雯雯

如上图左边所示，当我们想要将正三角形恢复成正四面体时，只需将颜色相同的边对着粘合即可；而要将两个展开图形结合，则只需将其中一个旋转180°，再将它们拼在一起即可（如上图右所示）。如果继续向各个方向无限地进行这种结合，就能将这些图形密铺到整个空间。

现在，在正四面体上的直线问题被演变成了，我们是否可以在展开图上画出一条直线，直线所连接的两点具有相同的颜色？

其实，对由三角形构成的正四面体、八面体、二十面体，以及由正方形构成的立方体，数学家们早已知道这个问题的答案：对于这四种正多面体来说，从任何一个顶点开始沿直线前进，都必定要经过另一个顶点才能重返原点。这意味着，“正四面体星球”上数学家是无法阻止种植在其他顶点上的玫瑰被羊吃掉的厄运的。

那么，第二个故事中的“社恐”数学家，是不是也同样无法如愿进行想要的散步了？

其实一直以来，并没有人知道由12个五边形组成的正十二面体在这个问题中的情况。与其他四种正多面体相比，正十二面体有一个显而易见的不同：对于正四面体、立方体、八面体和二十面体，构成了它们的图形（三角形和正方形）可以密铺整个空间；而正十二面体的展开图形（正五边形）却不能做到这一点。

正三角形、正方形都可以无缝隙密铺空间，但正五边形却无法做到这一点。素材来源：J Athreya et. al & Wikipedia；图片设计：雯雯

三

然而现在，我们终于知道了剩下的那种情况的答案。Athreya和论文的合著者利用优雅简洁的图形和现代计算机方法，为正十二面体这种特殊结构找到了答案：正十二面体上的确存在这样的直线路径（如下图所示的一种可能），不仅如此，这样的直线路径在正十二面体上有无穷多个。

正十二面体上存在这样的直线，它从一个顶点出发可以返回这个顶点，且无需经过其他任何顶点。素材来源：J Athreya et. al；图片设计：雯雯

如果这样的路径有无穷多个，那么要如何将它们列出呢？

这里，研究人员用到的一个关键概念是数学里的“等价类”。它说的是，对于任何一个集合的数学对象，如果在集合上定义了等价的概念，就可以将集合中的元素分成彼此等价的子集。

比如以自然数集合1, 2, 3, ……来说，它既包含无穷多个偶数2、4、6、……，也包含无穷多个奇数1、3、5……，对于这偶数或奇数这两个类，我们可以分别通过从0或1开始，向每个元素添加一个偶数来获得。在正十二面体的直线路径例子中，数学家根据的是不同的对称类型将它们分类成子集的。按照这种分法，他们发现正十二面体上的无穷多个路径可被分为31个等价类。