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探索永恒：哥德尔和爱因斯坦

晰数塔互联网快讯
2023-06-23 11:38

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：王浩，编辑：严朝旭，头图来自：视觉中国

爱因斯坦有许多耐人寻味的名言，比如他说晚年在普林斯顿高等研究院上班，“只是为了有幸和哥德尔一起散步回家”。两位伟大的学者漫步在普林斯顿的小路上，是一道独有孤独的风景。他们在谈论什么？著名数理学家王浩与哥德尔有很多交流，并得到了许多哥德尔与其母亲谈论爱因斯坦的私人信件，由此得以了解两人关系。他们彼此在个性上有很大反差，学术之路更不相同，却在探寻深邃、永恒的基础问题上成为了知己，这样的思考或许是逆时代精神的，却也正是最珍惜可贵的。

哥德尔与爱因斯坦

大约从1942年到1955年4月，爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）和哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978）经常一起散步、聊天，在新泽西州普林斯顿高等研究院附近，这是常见的情景。旁人偶然会注意到他们密切的友谊，但这主要是他们间的私事。他们所谈论的，无疑大半是为了消遣自娱，几乎也没有留下任何记录。

根据40年代和他俩过从甚密的斯特劳斯（Ernst G. Straus）说：“大逻辑家哥德尔毫无疑问是爱因斯坦临终前几年间唯一特别亲近的朋友，而且也是在某些方面和他最相似的人。但就个性而言，他们却截然相反——爱因斯坦合群、快活、笑口常开、通情达理；哥德尔则极端古板、严肃、相当孤独，而且认为寻求真理是不能信赖常识的。”[1]

他们是伟大的“哲学一科学家”，是极其罕见的一类人。由于高度专业化的倾向、激烈的竞争、急功近利的心态、对理智信任的丧失、种种俗虑的干扰，以及对崇高理想的敌视，这一类人好像已濒于绝迹了。他们的价值观大多已被认为过时，至少已不再完全合乎实际了。若他们受尊敬，那只不过是对一个已结束时代的怀旧心情而已；不然他们就被目为幸运但神秘莫测的奇人。他们的生活和工作会令人做近乎无聊的猜测：假如他们目前还年轻，那么会从事什么工作呢？怎样的文化、社会和历史条件（包括学术进度）才会产生像他们那样的智力和成就？

对他们那样的人的生活和工作发生兴趣是很自然的，所以已经有不少文章谈及爱因斯坦，看样子谈论哥德尔的也不会少。他们对我们所谓“永恒真理”的那种罕有的献身精神令大家对智力和推理本能的价值认识得更淸楚；对那些大半为忙碌而忙碌的人来说，思考这两位伟人的生命目标更可以成为一帖良药，一口清新空气，甚至可以为他们的生活和工作指出一个更广阔的天地。

无论如何，我只是无意中碰上了爱因斯坦和哥德尔这个主题，而且只是顺着个人的看法来思考他们。在哥德尔生命中最后几年，部分为了传扬他的观点这一共同目标，我曾多次和他讨论哲学问题。我们起初所讨论那部分蒙哥德尔认可已记载在我的《从数学到哲学》[2]一书中了。他逝世（1978年1月）后三年，我终于提起劲来，开始利用零散的笔记把讨论的主要部分整理出来，这样逐步走下去，我终于写出整本的书——而结果它又分成了两本书[3]。在写书的过程中，我对比较哥德尔和爱因斯坦发生了兴趣，并且在哥德尔给他母亲的信中发现了大量提及爱因斯坦的资料，因此进一步了解到他们之间的关系。本文就是整理散布书中的有关记叙和评论之后，综合写成的。

库特·哥德尔是在摩利维亚的布伦市（Brünn，今捷克西部——译者注）出生、成长、念中学的。这里是遗传学创始人孟德尔（Gregor Mendel）工作过的地方。在1924至1939年间，哥德尔在维也纳从事研究，并且作出基本的重大发现。从1933年起他在普林斯顿做研究访问，1940年春，他带同妻子移居普城工作，其后未曾离开。哥德尔1929年的博士论文证明，“在所有可能的世界中皆为真”的命题都是可以推导的，因此，在这个意义上，初等逻辑的既有法则（他称之为“有限思想的逻辑”）是“完整”的。他1931年那一最著名的论文[4]以异常清晰的方式证明了数学在任何形式系统（formal system）或计算机程式中的”不可穷尽性”。定下了这样的系统和它的求证方法之后，我们总是可以建构直觉上为真但在这系统中不可能推导出来的命题。特别是，“该系统具有一致性（consistency）”这一命题（假定为真）便是可表达而不可证明的。这些结果令希尔伯特（David Hilbert）建立非平庸（significant）和完整（或至少直觉上明显地具有一致性）系统的构想落空了。哥德尔的研究不仅为证明心灵超过机器的努力指出新方向，而且成为发展计算机和“可计算性”纯理论的主要动力和工具。由图灵（A. M. Truing）的理论和方法加以补充之后，这理论遂得多方发展，为研究计算机和它的应用建立了概念架构。

到30年代，哥德尔的注意力转移到更丰富也更混乱的集合论领域，由是得到更宽广的空间可以拓展视野。从1943年起他的注意力就更直接地转到哲学去了。在40年代末他发现了爱因斯坦方程式的新解，因此证明“时间旅行”的可能性，并显出主观和客观时间观念的强烈差异。此外，他又认真地研究过莱布尼茨（Leibniz）和胡塞尔（Husserl），发表了好几篇数学哲学的基本论文，积累了大量未曾发表的手稿。这些资料肯定够学者研究多年的了。

爱因斯坦和哥德尔都在中欧成长和完成他们最出色的工作，两人都以德文为母语。在”奇迹”年1905， 26岁的爱因斯坦发表了关于（狭义）相对论、光量子论和布朗运动的三篇论文；哥德尔在同样年纪之前就已经完成了他逻辑完整性和数学不可穷尽性的理论。然后爱因斯坦进一步发展广义相对论，哥德尔则转到集合论领域，提出了“集”（指可构集）的“有序子宇宙”这一观念，由是得以证明连续统假设的一致性，这也是要在“任意集”这个混乱的领域建立秩序迄今最有效的一步。（至于有关爱因斯坦方程式的工作则只不过是他研究时间和变化这个哲学问题时的插曲和副产品而已。）在生命最后几十年间，他们都专心于一般认为不时尚的工作，即爱因斯坦的统一场理论和哥德尔的“老式”哲学。

对科学的根本贡献、认真的哲学思考和独立精神这数者在他们身上结合，达到了本世纪绝少的、也许是仅有的高峰。他们卓越的智能工作令人想起有时被称为“天才世纪”的十七世纪，那正是塞万提斯（Cervantes）、培根（Bacon）、开普勒（Kepler）、哈维（Harvey）、伽利略（Galileo）、霍布斯（Hobbes）、笛卡尔（Descartes）、帕斯卡（Pascal）、惠更斯（Huygens）、牛顿（Newton）、洛克（Locke）、斯宾诺莎（Spinoza）和莱布尼茨著作问世的时代。

由此联想开去，如果把爱因斯坦和哥德尔相提并论，为什么不把爱因斯坦和牛顿这熟悉的组合用类比法推广呢？这样问题就在于找到一个x，使爱因斯坦对哥德尔的关系相类于牛顿对x的关系。显然笛卡尔和莱布尼茨都是x的首选。哥德尔崇拜的是莱布尼茨：他们两人都是伟大的逻辑学家，而且哥德尔认为莱布尼茨的“单子”理论（monadology）和自己的哲学相近。另—方面，他在数学发现的透彻和确定性则更近于笛卡尔所发明的解析几何学；而他之喜好胡塞尔看起来也更接近笛卡尔之倾心于新思想方式和新哲学的诞生。另一位人选也许是帕斯卡，他和哥德尔一样，常常逆时代精神而行。

在1953年给母亲的一封信中哥德尔应她所问，讨论盛名之累的问题。他说：“至今我并不觉得有什么盛名的负担，那只有像爱因斯坦，名气大得连街上孩童都知闻的时候才会出现。那样就不时会有疯疯颠颠的人要来解释他们的古怪念头，或埋怨世界大势。但是，如你所知，这也并不是什么大问题，毕竟爱因斯坦已活到74岁的高龄了。”

哥德尔的母亲玛丽安（Marianne，1879-1966）和爱因斯坦同一年出生。她在1946年听说儿子和爱因斯坦友好，大为兴奋，其后10年间他们往来书信中爱因斯坦就成了主要话题之一[5]。她是一位异常活泼，有优良教养和独立精神的人；她善于酬酢，交游广阔，而且博览书籍，喜好音乐、戏剧和体育。年轻时她是体育健将（特别是滑雪方面），晚年则周游各地，长年研究歌德的生平（她拥有一批有关魏玛歌德社的书籍），而且在1900年前后已经对“现代”文学（特别是施尼茨勒（Schnitzler）和阿滕贝（P. Adernberg））颇能鉴赏。玛丽安是一位好妻子，但她和丈夫并没有所谓“爱情婚姻”，他们之间有的只是同情和敬重而已。她丈夫是一个实际的人，在纺织业颇有成就，在她49岁那一年英年早逝，当时他自己还不到55岁。

玛丽安和她的孩子库特以及他唯一的兄弟鲁迪十分融洽亲切，几乎有如同辈朋友。她和鲁迪在一起的时间较多（包括从1944到1966年全部时间），但她对库特较特别，这从鲁迪的记述可以看出来：“母亲和他（指哥德尔——译注）”特别融洽，经常为他弹奏他所喜欢的钢琴曲（轻音乐）。”“母亲常常记起他孩提时候的许多细琐事情，在她看来，这些都是他将要成为世界知名学者的预示；譬如从4岁起他就在熟人中得到了“为什么先生”的称号，因为他总是坚执地追问每件事情的根柢。”战后，库特不愿回欧洲，所以玛丽安在生命最后10年间多次由鲁迪陪同到普林斯顿探望他。“这些美国旅程对她来说总是像节日一样。”1966年玛丽安身体太虚弱了，不能去普林斯顿和库特共度他的60岁生辰（4月28日），因而感到十分失望。

哥德尔1978年去世后，他的声望传扬更广了。侯世达（D. Hofstadter）所著的《哥德尔，埃舍尔，巴赫》这本意外地畅销的书[6]恰好在1979年出版，跟着召开了许多讨论他生平和成就的会议，他全集的首卷出版了，其他几卷也行将问世。同时，哥德尔研究社也在维也纳成立。无疑他本人和他的工作越来越受关注，是同计算机的普及和广泛应用分不开的。譬如，一个纪念他的研讨会在宣传上就以“数码智能：从哲学到技术”这样的题目做主题。

哥德尔的工作与计算机的关系可能比爱因斯坦的工作与原子弹的关系更为密切。关于这一点哥德尔在1950年给他母亲的信中说：“认为爱因斯坦的发现只是促成原子弹出现，那是错误的。当然他对此有间接贡献，但他研究工作的精义则在于完全不相同的方向。”我认为哥德尔这番话对他自己的研究和计算机的关系也是同样适用的。

所谓“完全不相同的方向”指的是基础理论，那是哥德尔和爱因斯坦生命的中心目标。他们在这方面共同的献身精神，以及（不同但是互相欣赏的）伟大成就，还有他们深入探索自然奥秘的决心——这种种因素的结合，无疑是他们友好和经常交往的坚定基础。他们不但感到智力相埒，而且还有共同的文化传统。由于幸运的巧合，从1933年起他们两人都进了同一个“俱乐部”，即“高等研究院”。

在历史上很难找到这样两个杰出的哲学家兼科学家之间有如此亲近关系的例子。牛顿和洛克，莱布尼茨和惠更斯之间的友谊远没有这样亲近；法拉弟（Faraday）和麦克斯韦（Maxwell）互相尊敬，但很少私下接触。在其他类型学问家之中，倒的确有些著名的例子，像歌德（Goethe）和席勒（Shiller）、黑格尔（Hegel）和荷尔德林（Hölderlin）、马克思（Marx）和恩格斯（Engels）等。

一般来说哥德尔并不乐意主动同人接触，大家都知道他只同少数几个人在一起才会感到愉快，当他在普林斯顿的时候更是如此。无疑有好些人想同他密切相交，但很少人有信心和机会来发现彼此间真正的共同兴趣，以及维持长期讨论或其他形式密切交往的兴致。就爱因斯坦而言，自然无所谓信心问题，而且机会也多的是。况且以丰富的共同知识为基础，他们两人都曾对科学和哲学做过极其深刻和敏锐的思考。很明显，他俩之间的相处交谈是非常愉快的。这样的关系无疑可以算得上是人生最珍贵的经验了。

和哥德尔相熟同时也认识爱因斯坦（这可能是由哥德尔介绍）的摩根斯坦（Oskar Morgernstern）在1965年末上书奥地利政府，建议趁哥德尔的60大寿予以褒奖。他说：“爱因斯坦多次告诉我，他在晚年经常找哥德尔见面，以便讨论问题。有一次他甚至说，他自己的工作已不再有太大意义，他到研究所来只是‘为了有幸和哥德尔一道散步回家’而已。”

从哥德尔写给他母亲的信看来，显然他同爱因斯坦一样，都非常珍惜二人之间的相处。我觉得这种密切的情谊展示了人生价值迷人的一面，它也许可以用来验证诸如米尔（James Mill）的“偏好原理”那些评判快乐品级的伦理理论。他们二人所追求的，并非实际效果，甚至也不是倾诉衷肠，而可说是基于“无偏之爱”的“无用之用”。从庸俗眼光看来，他们所做的诚然都是无用之事。然而，他们真切的愉悦之情，却清楚地展示了一种我们往往只能模糊地窥见，或最多有限度地体会到的价值。也许这种基本价值所代表的，应该称为以自身为目标的纯粹自由探索（这通常是极孤独的事）吧？无疑他们的学术成就和对这种价值的献身是密切相关的。但正如哥德尔谈到他的哲学成果时所说文[7]，假的献身比诸真的献身恐怕成效是肯定不如的。

本文作者王浩（右）与哥德尔

爱因斯坦逝世后，哥德尔曾答西利格（Carl Seelig）的问话说，他和爱因斯坦的谈话所涉及的包括哲学、物理学和政治，也时时涉及爱因斯坦的统一场论，虽然（或者正是因为）爱因斯坦是知道哥德尔对他的理论是抱着怀疑态度加以反对的。但我确信，这讲法背后实在有个假定，即是就问题和想法的价值和重要性而言，他们的品味是基本相同的。他们渊博的学识相若，对“知”与“未知”分野的判断相符，而且都有极高的清晰表达能力。现在我要提到他们相同和相异之处，以把他们的观点作对比[8]。

爱因斯坦和哥德尔所关心的主要是（到了晚年更全部是）基本问题，例如，爱因斯坦经常解释[9]，他之所以选择物理而不取数学，部分原因在于他感到数学门类太多，在物理学中他则能分辨那些问题是重要的。但有一次他又对斯特劳斯说：“认识了哥德尔，我现在知道数学也有同样情形。”换言之，爱因斯坦感兴趣的是整个数学或物理学领域中最基本的问题，但起初他只能够在物理学的领域里面把这基本问题辨识出来。哥德尔有一次几乎是抱歉地（这可能是想解释为什么他认为在最后几十年里他所做的大抵都不甚成功）对我说，他一直在追求最基本的东西。

与物理学界主流相反，爱因斯坦和哥德尔都不认为量子理论长期站得住脚。爱因斯坦似乎在探求一个完整的理论，在其中量子理论只是由“基本原理”推导出来的系综（ensemble）描述。哥德尔则认为，物理学目前的“双层”理论（即“经典系统”的量子化以及相关的发散级数[10]）是公认极为令人不满的[11]。

哥德尔在给母亲的信中经常以同情的口吻解释爱因斯坦的态度。例如有一篇文章称爱因斯坦的理论为“了解宇宙的关键”。在1950年他评论说，这类哗众取宠的报导是“非常违背爱因斯坦自己意愿的”。他还说：“（在我看来）即使他的想法日后真个导致了可以用这种讲法形容的结果，现在用这种讲法来报导他目前的工作进展也是不对的。在目前，一切都是不确定、未完成的。”这看法我认为爱因斯坦本人也会赞同。

他们之间这类相合之处显出了一种与流俗或“时代精神”相背的共同观点，那也就是他们惺惺相惜的原因。所以他们之间的分歧是次要的；事实上，像在许多其他方面一样，他们观点的对立通常可以视为从共同态度衍生出来的枝节。

例如他们都重视哲学，但对它的本质和功能却有不同的看法；他们都热爱和平，有世界性胸襟，但是和爱因斯坦不同的是，哥德尔不牵涉公众活动；他们都同情社会主义理想，但哥德尔对一般人认为达到这理想所须采取的途径表示怀疑，这和爱因斯坦在1949年那篇文章《为什么要社会主义？》中所提出的有欠斟酌的观点形成对比。从某种意义上说，他们两人都信仰宗教，但爱因斯坦说他接受斯宾诺莎的泛神论，哥德尔则自称是追随莱布尼茨的一神论者。（在1951年哥德尔说爱因斯坦“从某方面说他无疑是信教的，但这决不是就参加教会的意义而言。”）

他们在学校时都读过康德（Immanuel Kant）的著作，年轻时都对哲学有强烈爱好。后来爱因斯坦受不了哲学的含糊或武断，舍之而去，但哥德尔则继续把大量精力投入哲学研究，致力追求“成为严密科学的哲学”。爱因斯坦认为：“和科学没有关系的知识论只会成为空架子，没有知识论的科学——假如这是可以想象的话——是原始和混淆的。”[12]相反地，哥德尔对知识论兴趣不大，他认为研究哲学的正确方法是了解自己。对哥德尔来说，科学只是运用概念，哲学则以日常经验为基础来分析我们的原始概念。

在50年代，像当时大部分知识分子一样，爱因斯坦支持史蒂文森（Stevenson）而不是艾森豪威尔（Eisenhower），但哥德尔则强烈支持艾森豪威尔（另一方面，哥德尔却极之仰慕罗斯福（Franklin D. Roosevelt），在这一点他和他的同事比较接近）。爱因斯坦之喜爱古典音乐是众所周知的，哥德尔则对此感到索然无味。（1955年12月他出席一场纪念爱因斯坦的音乐会，事后说：“这是我头一遭让巴赫、海顿等等缠绕达两小时之久。”）另一方面，据说哥德尔爱好现代抽象艺术，这大概是爱因斯坦所无从分享的了。爱因斯坦结过两次婚，有两个儿子和两个继女，曾鳏居几乎20年之久；哥德尔只在年纪较大时结过一次婚，他没有孩子，先于妻子去世。

在给他母亲的信中，哥德尔经常提到：“我几乎天天见到爱因斯坦。”他也常常用乐观的语句谈论爱因斯坦的健康状况。信里还有关于爱因斯坦公共活动的解释以及对有关爱因斯坦的书和文章的评论，也记载了1949年爱因斯坦70岁寿辰时和哥德尔乔迁时他们互相馈赠礼物的事。1947年夏天，哥德尔写信告诉他母亲，爱因斯坦正在疗养，他说：“所以我现在觉得相当孤单，私下很少和任何其他人说话。”到了1955年1月，他又说道：“我并不如你所想的那样孤单，我经常拜访爱因斯坦、摩根斯坦，和其他人也有来访。”

爱因斯坦在1955年4月18日逝世，其后一星期哥德尔在信中说，爱因斯坦的死对他自然是沉重的打击，因为这完全出乎意料之外。很自然地，在过去一周他健康变坏了，特别是感到寝食不安。两个月后他说：“我的身体现在好了，过去两个月里我的确恢复了精力。”

爱因斯坦逝世后，人们为纪念这位伟人而出版的纪念图。（编者注：由美国著名漫画家Herb Block创作。）

就参与（而不是观望）历史和理解世界这两种不同态度的取舍而言，爱因斯坦和哥德尔主要都是着力于理解的工作，从而各自对他们的专门学科作出了决定性贡献。但爱因斯坦不像哥德尔，他同时也通过其他途径参与历史，而且是一位备受注意的公众人物；哥德尔则和“时代精神”保持更大距离。对一些普通人也会感兴趣，而且令多数专家却步的恒久问题，他不但去猜究，而且还提出新鲜的看法来。例如[13]：心智能超过机器吗？我们的数学知识有多少“穷尽性”和肯定性？时间和变化有多真实？达尔文的理论足以解释生命和心智的起源吗？人有另一个具体器官用以处理抽象印象吗？物理学能有多精确？有来世吗？对这些问题我相信爱因斯坦是不太用心的。

爱因斯坦把毕生精力都集中在物理学上，哥德尔的兴趣则先从理论物理转移到数学，然后又转到逻辑学；在逻辑学上取得伟大成就之后，他又埋首于好些哲学问题。虽然爱因斯坦也没有能完成他的统一场论，哥德尔则一再踏上新旅程，同时在好几个重要领域进行探究，而都没有能完成这些工作。可以说，哥德尔没有能像爱因斯坦那样好好计划他的一生，而且爱因斯坦则对于什么是可行的这一点看得更清楚。但是，话说回来，其实没有人能有自信预测他们那些未完成的工作在将来会结出怎么样的果实来。而且，正如哥德尔所说，即使目前并非从事哲学工作的好时机，形势是可能改变的。一般说来，我们总以为主流的大方向是不变的，但事实上历史却充满了消长和变化。也许在不久的将来，就会有许多其他像爱因斯坦和哥德尔那一类型的，才华慑人的思想家出现，——没有什么道理这是不可能发生的吧？

注释

[1]

G. Holton & Y. Elkana (eds.) ， Albert Einstein: Historical and Cultural Perspectives. Princeton: Princeton University Press， 1982， p.422.

[2] Wang Hao (王浩)， From Mathematics to Philosophy. London: Routledge and Kegan Paul， 1974.

[3] Wang Hao (王浩)， Reflections on Kurt Gödel. Cambridge， Mass: The MIT Presss， 1987；原稿部分内容已被抽出，扩充成另一本尚在整理中的书：Conversations with Gödel。

[4] 即《论〈数学原理〉及其有关系统的形式不可判定命题》，该论文提出了著名的“哥德尔不完全性定理”（译者注）。

[5] 维也纳城市图书馆藏有哥德尔书信的德文原件，本人承蒙该馆惠允引用这些信件，谨此表示谢忱。下文有关玛丽安的题外话大多取材于哥德尔的哥哥鲁迪（Rudolph）在1967年4月为他母亲所写的一篇传记，这篇传记在哥德尔去世后于1978 年2月曾有增补。

[6] D. Hofstadter， Gödel， Escher， Bach: An Eternal Golden Braid (Harvester， 1979)。该书已有中译节本：《GEB，—条永恒的金带》，乐秀成编译，成都：四川人民出版社，1983年。（译者加注）

[7] 见注2，页8-11。

[8] 本文其余部分是注2中第一本书中详细记述的摘要。

[9] 比较P. A. Schilpp， ed.， Albert Einstein， Philosopher—Scientist. La Salle: Open Court， 1949， p.15和H. Woolf， ed.， Some Strangeness of Proportion. Reading， Mass.: Addison-Wesley， 1980， p.485。

[10] 指用量子场论通过微扰法计算粒子相互作用的次级和高级效应会产生的发散项，这些项必须经重正化过程处理才能导致有意义的结果（译者注）。

[11] 见注2，页13。

[12] 参看注9 Schilpp，页684。

[13] 哥德尔对这些问题部分的看法记在注2引书页324、326和385。注3的两本书则载有他对所有这些问题看法的详细记述。

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：王浩，数理逻辑学家，在50年代即开始探究利用电子计算机证明逻辑命题这个崭新的领域，并作出许多开拓性的贡献，因此除荣膺英、美两国国家科学院院士外，后在1983年获得第一届“米斯东（Milestone）自动化定理证明奖”的殊荣。王教授1921年在济南出生，在西南联大和哈佛大学攻读数学和哲学，50年代中起先后在牛津大学和哈佛大学担任数学哲学和数理逻辑学教授，1967年起在纽约洛克菲勒大学担任逻辑学教授。编辑：严朝旭