那个曾经随时可能失明的少年，刚刚获得数学界最高荣誉
我们的人生，会经历无数的随机事件。它们有些是预料之中的，有些则完全出乎意料。就算是当今世界上对随机过程理解最深刻的人，也无法预知自己会在北半球春分这一天，摘得数学界的最高奖项之一。
北京时间2024年3月20日，法国概率理论家米歇尔·塔拉格兰德（Michel Talagrand）被授予了阿贝尔奖，以表彰他对随机过程深刻而复杂的理解。这是数学家事实上的终身成就奖。奖金高达750万挪威克朗（约合70万美元），这是为了弥补诺贝尔奖项里未设立数学奖，以及菲尔兹奖奖金微薄的缺憾。
当得知自己是今年的阿贝尔奖得主时，“我的脑子一片空白，”塔拉格兰德说，“我刚学习数学的时候，（它）一点也不时髦。（随机过程）被认为是低劣的数学。我获得这个奖项的事实绝对证明了事实并非如此。”
人类在不确定性中寻找确定性。随机过程是一门以追求确定性为目标研究不确定性和随机性的学科。它不仅仅是关于概率的计算，更是关于理解复杂系统中的模式和规律。塔拉格兰德通过对随机性的深入研究，将高维几何工具应用于复杂的概率问题，向我们揭示出隐藏在表象之下的结构和美。即使在最不可预测的环境中，也存在着一种内在的逻辑和秩序。
塔拉格兰德相信，正是生命中那些不可预测的随机事件，赋予了他某些品质，推着他走上了数学之路。
一、童年：命运投下的阴翳
塔拉格兰德出生时便确诊患有先天视网膜缺陷。在他5岁时，一只眼睛因视网膜脱落而彻底失明。
他在法国里昂勉强读完了小学，虽然他对科学很感兴趣，但他不喜欢学习，因为读书、写字会带来用眼负担。塔拉格兰德从小就被笼罩在某天再也无法看到光明的恐惧阴影之中。
仿佛是为了佐证著名的墨菲定律——担心的坏事总会发生，在他15岁的时候，另一只眼睛连续三次视网膜脱离，迫使他在医院住了一个月，眼睛缠着绷带。
法国概率理论家米歇尔·塔拉格兰德15岁时与妹妹的合照。此时塔拉格兰德另一只眼睛的视网膜亦出现问题，需经常前往医院观察和治疗。丨图源：香港《明报》
幸运的是，塔拉格兰德有一位全心支持他的父亲。后者也是一位数学教授，对塔拉格兰德的数学人生有着深远影响。
父亲对他充满信心，即使他在考试中的拼写和语法出现错误，父亲仍然尽力争取他升上高中的机会。在他15岁进行眼部手术和术后休养期间，父亲每天都从学校赶来看望，并教授他一些数学理论，借此让他的大脑忙碌起来，逐渐培养了他对这门学科的兴趣。
出院后，他一学期已缺课4个月之久，但他坚持自学完成了数学和物理课程。塔拉格兰德所就读中学的校长要求他重修上一学期的课程，但他的父亲相信他已经掌握了课程内容，说服校长让他参加年级考试，最终证明了他的能力，直接成为了数学和物理科的优秀学生。
几何是塔拉格兰德的苦手，每当遇到困难时，他都会向父亲请教，而父亲总是耐心解答，成为他坚持不懈的动力。渐渐地，他开始自己解决大部分数学问题，这成为了他学习阶段的极大乐趣，甚至成为了抚平眼疾痛苦的一种安慰。“这就是我掌握抽象力量的方式。”塔拉格兰德在2019年获得邵逸夫奖后写道。这是另一个重要的数学奖项，奖金为120万美元。
米歇尔·塔拉格兰德教授直言，如果没有眼疾，他或许会选择不同的人生道路。一只眼睛失明，另一只眼则在10多岁屡次视网膜脱落。对他来说，时间尤其宝贵，因担心自己某天一觉醒来完全失明，所以要在能看得见的时候，把所有精力集中于学习之上。他回忆说，当时自己的视力还不算太差，很近的东西都能看得清楚，“只要出现视网膜脱落的症状，就尽快求诊，情况是可以控制的，只是眼疾令我经常活在害怕失明的惶恐之中。”
他最大感受是，他在学习过程中付出了最大的努力，而收获也超出了他的预期，这是最珍贵的成就。
二、转机：命运女神的青睐
专注于学业后，塔拉格兰德在数学方面的表现尤为出色。1974年大学毕业后，他被欧洲最大的研究机构法国国家科学研究中心（CNRS）聘用，在那里他一直工作到2017年退休。
一开始，濒临失明的阴云仍悬在塔拉格兰德的头顶。他后来回忆说：“我知道眼球转动时，眼内玻璃体会因黏着视网膜而容易导致视网膜脱落，于是我研究了一套提前自我诊断前兆的方法，让我减轻了对视网膜脱落的恐惧。”
在1981年，不可预测的小概率事件发生了——医疗技术的发展带来激光手术，恰好可以治疗他的视网膜问题，让他摆脱了随时可能失明的痛苦。
在此期间，他获得了博士学位，赢取了一位统计学家的芳心。他对自己未来的妻子一见钟情——认识仅三天后便向她求婚。在各种意义上，Wansoo Rhee女士成了塔拉格兰德的幸运女神，除了带来美满的婚姻外，还使他转向了概率论——他学术生涯中最成功的领域。他发表了数百篇关于概率论的论文。
2019年，在台上当众发表邵逸夫奖获奖感言时，塔拉格兰德饱含深情地回忆道：
“我一生中最幸运的事件是在俄亥俄州肯特市遇到了一位了不起的博士生，她立即俘获了我的心。认识3天后，我便向她求婚。你疯了，她说。我跟着她去了韩国。她又把伤心的我送回了法国。”
“在回家的路上，我们在香港停留了一下。我恰巧知道一个信誉良好的首饰商人的地址，在那里我给她买了一条我能买得起的最好的珍珠项链作为临别礼物。我的真挚举动打动了她，两人的故事得以继续。”
“她的父亲是韩国知名学者，从小就相信学术成就是人生的最高价值。我常常在想，她决定嫁给我的原因，是因为我的数学水平，而非我帅气的外表（笑）。”
“尽管她拥有充实的职业生涯，但她一直非常支持我。我从来没有听见过我最害怕的那句话：现在不是工作的时候。”
“这并不意味着我忽视了家人。数学成功的秘诀是每天工作到筋疲力尽，但不能更多。当她说我一生中99%的时间都花在数学上，1%的时间花在她身上时，不要相信她！她至少得到了2%。”
“有了完美的配偶，剩下的一切都很容易。我希望我能说我对数学有一个宏伟的愿景，但现实却大不相同。我只懂很少的数学。我只是试着解决我遇到的问题，总是试图追根究底。我没有研究时髦的领域，但我专注于简单的通用结构，因为那里有重要的问题。我非常感谢Gilles Pisier，Vitali Milman和其他人，他们向我介绍了我最成功的领域。现代科学就像一座宏伟的庙宇，在永恒的建造中。我很自豪我能为它的地基贡献一块小砖。”
三、成就：教我们“看”随机的大师
其他数学家也会同意，塔拉格兰德的工作“改变了人类看待世界的方式”。阿贝尔奖委员会主席赫尔格·霍尔登（Helge Holden）认为，“通过随机过程描述和模拟现实世界的事件正变得非常流行。塔拉格兰德的工具箱马上就出现。”
想一想不久前火爆一时的AI视频生成工具sora，大多数人都会赞同上面的看法。
塔拉格兰德的职业生涯始于研究高维几何空间。“10年里，我没有发现自己擅长什么。”他说，但他并不后悔这段弯路。这最终将他引向了概率论，在那里“我的经历带来了另一种观点……给我一种以不同方式看待事物的方式。“这使他能够通过高维几何学的视角来检查随机过程。
“他用他的几何直觉来解决纯粹的概率问题。” 普林斯顿大学数学教授阿萨夫·诺尔（Assaf Naor）说。
随机过程是事件的集合，其结果以可以建模的方式根据机会而变化——比如一系列抛硬币、气体中原子的轨迹或每日总降雨量。数学家想要了解个体结果和总体行为之间的关系。
塔拉格兰德花了15年时间开发出一种称为generic chaining的技术，使他能够创建与这种随机过程相关的高维几何空间。诺尔评价称，他的方法“给了你一种从几何中看最大值的方法。”
该技术非常通用，因此应用广泛。如果我们想要分析依赖于数千个参数的海量高维数据集。为了得出有意义的结论，需要保留数据集最重要的特征，同时仅用几个参数来表征它。如分析和比较不同蛋白质的复杂结构的工作就是如此。许多最先进的方法通过应用随机操作，将高维数据映射到低维空间来实现这种简化。数学家可以使用generic chaining确定此过程引入的最大误差，从而使他们能够确定简化数据集中未保留某些重要特征的可能性。
塔拉格兰德的工作不局限于分析随机过程的最佳和最坏结果。他还研究了在平均情况下会发生什么。
在许多过程中，随机的单个事件总体上会导致高度确定性的结果。如果测量是独立的，那么总数就变得非常可预测，即使每个单独的事件都无法预测。
为了介绍度量集中（Concentration of measure）的概念，这里先提供一个非常有意思的思考题，大家可以测试一下自己的概率直觉。
假设稍后要掷硬币100 次——可以给出一系列正面（H）和反面（T）的序列。
现在你有选择权，可以选择积分规则。
规则A：对于序列中的每个HH，你都会得到一分；对于每个HT，对手都会得一分。
规则B：反过来，对于序列中的每个HH，对手都会得到一分；对于每个HT，则你得一分。
比如说序列片段HHHT，按A规则就是你得2分，对手1分。
问：为了积分高于对手，你应该选择哪条规则？又或者说，两条规则的获胜概率是一样的？
抛一枚均匀的硬币。你无法提前说出将会发生什么。翻转10次，大约66%的概率会出现4、5或6个正面，接近5个正面的期望。但抛硬币1000次，99.7%的情况下，正面朝上的概率会在450到550之间，结果更加集中在期望值500附近。在平均值附近，结果异常尖锐。
“尽管某些事物具有如此多的随机性，但随机性会自行抵消，”诺尔说，“最初看似一团糟的事情实际上是有组织的。
这种现象就是度量集中性，也发生在更复杂的随机过程中。塔拉格兰德提出了一系列不等式，使得对集中性的量化分析成为可能，并证明它可用在许多不同的情况。他打造的工具标志着该领域的新阶段。他在2019年的论文中写道，第一次证明这种不等式存在是“一次神奇的经历”。他“一直处于兴高采烈的状态”。
塔拉格兰德特别自豪的是，他随后得出了约束集中性的不等式。“要得到一个适用于全宇宙的结果并不容易，何况同时又有一个易于解释的一页证明。”他说。
他高兴地回忆，他曾被一家出租车服务公司的车主认出了名字，因为后者在商学院的概率课上学到了以他命名的不等式。“这太了不起了。”他说。
当代数学大师，2024年阿贝尔奖得主米歇尔·塔拉格兰德发表获奖感言| 图源: The Abel Prize官网直播画面
就像他的generic chaining一样，塔拉格兰德的集中不等式出现在各个数学分支中。“它的应用范围之广真是神奇。”诺尔说，“塔拉格兰德的不等式是将事物联系在一起的螺丝钉。”
类似的方法已被用于证明组合学、物理学、计算机科学、统计学和其他环境中的集中现象。
最近，塔拉格兰德运用他对随机过程的理解来证明一个关于自旋玻璃的重要猜想。自旋玻璃是一种磁性合金材料的亚稳定状态。在这种状态中，材料的磁矩方向（自旋）是随机冻结的，显示出长程无序性。这与铁磁性状态和反铁磁性状态不同，后两者的磁矩分布是长程有序的。自旋玻璃的“玻璃”一词实际上是指这种长程无序状态，类似于我们通常所说的玻璃——玻璃是非晶体。
令塔拉格兰德感到沮丧的是，尽管自旋玻璃在数学上定义明确，但物理学家比数学家更了解它们。“这是我的眼中钉。”他说。他证明了一个结果——关于所谓的自旋玻璃的自由能——为一个更数学的理论奠定了基础。
在他的整个职业生涯中，塔拉格兰德的研究一直以“这种退后一步并找到在任何地方都可以重复使用的一般原则的能力”为标志。诺尔说：“他重新审视，从各种角度思考一些事情。最终，他提出了一个见解，成为每个人都在使用的方法论。”
“我喜欢慢慢消化理解简单的事物，因为我脑子很慢。”塔拉格兰德说，“所以我总是考虑了很长一段时间。”他的驱动力是“以一种纯粹的方式深入理解一些东西，这使得理论变得容易得多。然后，下一代人就可以从那里开始，按照自己的方式取得进步。”
在过去的十年里，他通过编写教科书来实现这一目标——不仅仅是关于随机过程和自旋玻璃，还有关于他根本不擅长的领域——量子场论。他本来想了解一下这一领域，但意识到他能找到的所有教科书都是由物理学家写的，也是为物理学家写的，而不是为数学家写的！所以他自己写了一本。“在你不能发明新东西之后，你还可以解释它们。”他说。
现在，塔拉格兰德正在用他最近几年获得的各项奖金（如邵逸夫奖的120万美元）的一部分，以及刚刚的阿贝尔奖奖金，来设立自己的奖项，以“表彰年轻的研究人员在我毕生致力于斯的领域里所能取得的成就”。项目名为Become RICH with my prizes（用我的奖金变富有吧，链接见参考[6]）。
他对自己的学生和读者向来十分慷慨：“如果你急于得到我的书，但又负担不起购买费用，可以尝试在搜索引擎中输入‘library genesis’。我不鼓励盗版，但这个网站让我少跑了很多趟图书馆，可惜图书馆没有电子版的旧书。”
最后，关于之前的那个思考题，答案是选B。您猜对了吗？
如果只投掷硬币5、6次，可以发现规则A更加有利。但是当次数足够多的时候，HT获胜的概率变高了。因为H和T的数学期望是一样的，但是分布不同。相当于说HH最高时可能得90分，但此时H分布过于集中，就意味着在其余片段里H变得稀少。HT最高50分，但更平均。A策略超过50分的部分都浪费了。
此即前文所言，由于集中现象，“随机的单个事件总体上会导致高度确定性的结果”，“尽管某些事物具有如此多的随机性，但随机性会自行抵消”。虽然H和T本身都是随机的，但因为我们所关心的，准备测量的分布（HH和HT）的集中程度有所不同，数据足够大的时候，就出现了整体上相对不随机的结果。
从这个例子中，大家应该也能领会概率和随机现象是如何地反直觉。
参考资料：
[1] La page de Michel Talagrand：https://michel.talagrand.net/
[2] Microsoft Word - speechfinal.docx (talagrand.net)
[3] Normal distribution - Wikipedia
[4] Concentration of measure - Wikipedia
[5] Michel Talagrand Wins Abel Prize for Work Wrangling Randomness | Quanta Magazine
[6] https://michel.talagrand.net/prizes/
本文受科普中国·星空计划项目扶持
出品：中国科协科普部
监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：嘉伟
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