两百多年前的这道简单数学题，终于有了精确解！
数学家一直只能知道一只被绑在围栏上的山羊的近似食草范围，直到现在才得到了精确答案。本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：Nadis，设计：雯雯子、岳岳子，题图来自：视觉中国
一
你能解开这个几何问题吗？
假如有一个圆形的围栏围着一片草地，将一只山羊拴在围栏内，请问栓羊的绳子需要多长，才能让山羊的食草范围为所围面积的一半？
内部山羊问题：一只用绳子固定在圆形围栏上的山羊，绳长为多少时，山羊的活动范围刚好为圆形围栏所围范围的一半？| 图片参考：QuantaMagazine
这个看似简单的问题，人们对它的思考其实已经有270多年的历史了。然而即便经过了如此长的时间，数学家只能给出这个问题的近似解，而无法知道确切的解。
这个问题可被称为几何山羊问题，它分为两种：内部山羊问题和外部山羊问题。就在今年2月，来自德国的数学家Ingo Ullisch通过推导出一个能表示绳长的表达式，找到了内部山羊问题的首个精确解。
二
虽然Ullisch只讨论了内部山羊问题，但为了完整起见，让我们简要回顾一下外部问题和内部问题各自的发展历史。
外部山羊问题最早可追溯到1748年，它的最初版本出现在了伦敦的一个数学期刊上。那时，问题中的动物还不是山羊，而是一匹马：一匹马被拴在公园里的圆形围栏上，圆形围栏的周长为160码，与拴住了马的绳子长度相同。问，马可以走动的最大面积是多少？
外部山羊问题：一只山羊被拴在圆形的池塘旁边的围栏上，绳子的长度等于围栏的周长，灰色区域和浅绿色区域为山羊可以食草的区域。| 图片参考：Ingo Ullisch & QuantaMagazine
这便是外部山羊问题所探讨的。其解答出现在1749年，相同的期刊刊登了一份来自Mr Heath的答案：对于一根长160码的绳子，马可以获得的移动范围是76257.86平方码。不过，这只是个近似值，而不是精确解。更精确的解由数学家Michael Hoffman于1998年给出，他用光滑的凸曲线代替了圆形栏杆，给出了这一问题在一般情况下的解。
内部问题最初发表于1894年的《美国数学月刊》，这个问题的最初版本大致为：一个包含了一英亩土地的圆与另一个圆相交，另一个圆的中心在第一个圆的圆周上，两个圆的相交面积为半英亩。问：另一个圆的半径为多少？
内部山羊问题的几何表述：一只山羊被拴在半径为r的圆形草地的边界上，绳子的长度R应该多长，才能让山羊正好吃一半草地上的草？| 图片参考：Ingo Ullisch
内部问题往往比外部问题更具挑战性。在外部问题中，我们能从圆的半径和绳子的长度开始计算面积，因此可以借助积分来进行求解。而内部问题的求解需要逆转这一过程，它是从已知的面积来推断形成了这一面积的半径，处理起来要复杂得多。
在接下来的几十年里，《美国数学月刊》上刊登过内部问题的各种版本，围栏的形状有圆形、方形，也有椭圆形。1984年，数学家Marshall Fraser将问题从二维的平面推到了更广阔的领域。他计算出，对于一个n维的球体（n趋于无穷），需要多长绳子，才能让一只山羊在这个n维球体的一半空间中自由食草。
后来，数学家Mark Meyerson发现了Fraser的论证中存在的逻辑错误，在纠正了这一错误后，Meyerson得到了与Fraser相同的结论：当n接近无穷时，绳与球体半径的比例接近√2。
其实对于这个几何问题，看似更加复杂的多维空间比平坦的二维平面更容易找到解。例如近年来，数学家Graham Jameson和他的儿子Nicholas Jameson就对内部问题的三维情况进行了研究，在他们的研究中，在三维球体内移动的从山羊变成了鸟。
2017年，Jameson父子发表了一篇论文，文中描述了如果用绳子将一只鸟拴在一个球形笼子上的一点，那么这根绳子需要多长，才能将鸟的移动范围限制在笼子的一半体积内。不过，他们得到的答案有着十分复杂的数学表达式，因此他们还使用了一种近似技术来帮助“鸟类驯养者”计算想要的绳子长度。
三
Ullisch对这个问题的研究始于2017年，那时，刚刚获得博士学位的Ullisch想要用一种新的方法来解决这个问题。当时，一个众所周知的思路是，几何山羊问题可被简化为一个超越方程。超越方程包括正弦和余弦等三角函数的很多项，这会给求解造成困难，因为许多超越方程都难以处理，比如 x = cos(x)就没有精确解。
但Ullisch发现，几何山羊问题最终可被简化为求解超越方程：
这是一个相较而言更易处理的方程。Ullisch意识到，他可以运用复分析进行求解。复分析是一个已存在了几个世纪的数学分支，它涉及到将分析工具（如微积分）应用于含有复数的表达式中。
Ullisch的工作是首个将复分析用于求解几何山羊问题的尝试。通过这种方法，他将上述的超越方程转化成了绳子长度的等效方程，用一个精确的数学公式解答了这个问题。
不过美中不足的是，Ullisch得到的解可能有些复杂——它是两个围道积分式的比值，当中涉及到大量的三角函数混杂在一起。但是，Ullisch认为这一结果仍旧是很有意义，因为它是一个精确的解，即使它算不上简洁。
四
据Quanta Magazine报道，现在，得到了首个精确解的Ullisch决定暂时把几何山羊问题搁置在一旁，因为他不确定该如何进行下一步。但其他数学家仍在研究这个问题的道路上摸索，比如有数学家希望利用球面的性质来研究在三维空间中的一般化的几何山羊问题。
Ullisch认为，这是一个相对独立的问题，它的求解应该不会带来颠覆教科书或撼动数学研究的效果。但他希望求解这样的谜题或许能引发新的数学思想，帮助求解其他问题的研究人员提供意外的新方法。
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/
https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0?shared-article-renderer
本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：Nadis，设计：雯雯子、岳岳子
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