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一个简单易懂，却可能没有答案的数学问题

晰数塔互联网快讯
2020-09-25 21:46

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑，题图来自：视觉中国

一

著名数学家陶哲轩的伯乐保罗·埃尔德（Paul Erdös）曾说：“数学还没有做好准备面对这样的问题”。专门研究这个问题的数学家Jeffrey Lagarias说：”这是一个危险的问题。人们沉迷于这个问题，但解决它真的是不可能的任务。“

两位数学家口中所说的问题，名为考拉兹猜想。

考拉兹猜想是数学中最引人注目的难题之一，它由德国数学家洛塔尔·考拉兹（Lothar Collatz）于1937年最早提出。与众多晦涩难懂的数学猜想不同的是，它看起来非常简单，任何已经学过加减乘除的小学生都可以对它进行推演。

考拉兹猜想说的是：无论选择什么正整数作为开始，通过应用上述函数中的规则，最终都会得到1。

这个问题说起来很简单，理解起来也很容易，从f(n)的表达式来看，它的运算规则一目了然：对于任何正整数，如果数字是偶数，则将其除以2；如果数字是奇数，则让其乘以3，再加1，再除以2；一遍一遍地重复这个过程，直到得到1，然后开始陷入一个循环。

以数字13为例：13是奇数，所以对于f(13)来说，它需要乘以3得到39，加1得到40；这时，40是偶数，所以f(40)需要除以2，得到20；再用20来重复这个计算；20又是偶数，所以只需继续除以2得到10；10还是偶数，除以2后得到5；5是奇数，乘以3、再加1再除以2，得到8；8为偶数，除以2等于4；4再除以2得到2；最后2除以2得到1。

当1开始出现时，事情开始变得有趣了。1是奇数，它需要乘以3再加上1，于是你又会重新得到4。接下来，故事的发展就是我们已经知道的那样，4到2到1再到4——陷入一个循环。如果用箭头来表示整个计算过程，以13为例，我们就会得到考拉兹序列：

任何正整数都会进入这个循环吗？

这正是考拉兹猜想所预测的：无论你以任何正整数开始，最后都会以这个循环结束。不信的话你可以拿任何正整数来试试，看会不会都最终陷入这样一个循环。

图片来源：swimmingthestyx.com

其实，如果你想要找到一个反例，可能需要代入一个稍微大点的数字才可能有机会，因为目前在计算机的帮助下，数学家已经对每一个小于2⁶⁸的数字进行了验证。尽管每个已被试过的正整数都会在这个循环中结束，但我们仍然不能确定考拉兹猜想是否总是正确，它至今仍只是个猜想，始终没有人能为这个看似简单易懂的猜想给出完整的证明。

图片来源：wordpress.com

二

为什么证明每一个数字都符合这个猜想会如此之难呢？

要证明这个猜想，一个重要的思路是，如果能够证明当对任何正整数运用函数f的运算法则时，总会得到更小的数，那么这将会是证明这一猜想的关键。这是什么意思？我们可以以一个与函数f相似，但又稍微简单一点的分段函数g为例。

继续13为例，在函数g下，13的序列会是：

当g中出现1时，它的循环变成了：

相比于f，13在函数g的运算规则下进入循环的速度更快。那么，对所有的正整数来说，在函数g中迭代是否总能循环到1呢？答案是肯定的，这是可以被证明的。

在函数g中，如果n是正偶数，那么g(n) = n/2，始终小于n本身。也就是说，当在函数g中迭代的数字为偶数时，下一个数字一定会更小；如果n是正奇数，那么g(n) = n + 1，大于n，而n + 1是偶数，那么接下来，下一个数字将变成(n + 1)/2，如此一来，对于一个奇数n来说，它在函数g下的迭代序列会是：

而我们已知，当n > 1时，(n+1)/2 总是小于n的。这也就是说，在函数g下，当一个轨道中出现了大于1的奇数n时，就总能在两步之后得到一个更小的数(n+1)/2。

如此一来，无论是n是奇数还是偶数，它在g函数中的迭代都会产生呈越来越小的趋势发展的序列，唯一会打破这个规则的是在变小的过程中出现了1，当1一旦出现，便开始进入循环之中。

三

那么，为什么同样的方法就无法被来证明考拉兹猜想呢？

如果n是偶数，那么在函数f中，下一个数字n/2会变小。但当n为奇数时，会得到偶数3n+1，接着这个偶数再除以2，得到始终比n大的(3n+1)/2。这种情况在g的证明中是不存在的，对函数g来说，当一个奇数n出现时，两步的迭代之后就能得到更小的数字；但对f来说，情况并非这样。

为什么会出现这一问题？其实，问题出在(3n+1)/2的数值上，它既有可能是奇数，也有可能是偶数。

如果(3n+1)/2是偶数，那么下一个数字将是(3n+1)/4，序列会呈减小趋势；但如果(3n+1)/2是奇数，那么下一个数字将是3(3n+1)/2+1，序列会呈增加趋势。因此，这一方法并不适用于证明考拉兹猜想。

不过，以上这种方法也并非对数学家完全没有启发。从概率来看，(3n+1)/2有一半的概率是偶数，也就是说在下一步能得出小于n的(3n+1)/4的概率为50%，这也就意味着一个奇数在两步迭代后会变小的概率是50%。接着，(3n+1)/4又有50%的概率是偶数，也就是说，一个奇数在经过三步迭代后，变成一个小于自身的一半的数的概率是25%……

最终的结果是，平均来说，当函数f中出现一个奇数时，是会出现减小的趋势的。再加上f函数在遇到偶数时总是会减小，因此从长远来看，在函数f下的迭代所产生一定是趋于减小的序列。这种概率性的论证已被大多数数学家所接受，他们相信这一猜想是正确的，但仍然没有人能发展出一个数学上的严格证明。

四

对于这个问题，数学家们已经达成普遍的共识，那就是这是个不可能的问题。然而，好在仍有一众优秀的数学家愿意为这个可能是徒劳的问题付出努力，使得在我们这一问题上也并非全无进展。2019年，数学家取得了”最接近考拉兹猜想“的结果，而做出了这一工作的，就是著名的数学家陶哲轩。

2019年9月，陶哲轩在博客上发表了一篇标题为《几乎所有的考拉兹序列都得到了几乎有界值》的文章，他用一种巧妙而隐晦的方式，让考拉兹猜想几乎得到了解决。“几乎”的意思是，他证明了相对于已知能最终达到1的数字的数量来说，无法确定的数字数量可以忽略不计。

在1976年，数学家Riho Terras证明了在反复应用考拉兹函数之后，几乎所有的数字最终都比它们最开始时要小，他证明几乎任何正整数n的考拉兹序列，最终都小于n。陶哲轩的工作对这一结果进行了进一步的限制，他证明了几乎任何正整数n的考拉兹序列，最终都比n/2、√n、ln(n)更小。这也就是说，对于几乎任何正整数，都可以确定它的考拉兹序列会尽可能的向更小的方向发展。

虽然我们几乎可以肯定，陶哲轩的方法无法完全证明考拉兹猜想，但这绝对是在没有完全解决这个猜想的情况下，所能得到的最好结果，他取得了近几十年来在这个问题上的最大进步。与此同时，这也是对想要继续挑战这个问题的数学家的一个警钟：这个看似简单的问题，真的太难了！

参考来源：

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/

https://plus.maths.org/content/os/latestnews/may-aug10/hailstones/index

https://terrytao.wordpress.com/

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑